Суть проблемы:
Что-то в системе блокирует сервер clientlogin.cdn.skype.com потому вы и не можете подсоединится. Это может быть антивирус, firewall брандмауэра или другое антивирусное по. И это не файл hosts.
Решение:
1. Попытайтесь отключить сперва антивирус, если не сработает - отключите брандмауэр и другие антивирусные программы. Посмотрите в карантине антивируса на наличие файлов skype, если найдете удалите их оттуда. Вполне возможно что сервер блокирует Firewall брандмауэра, посмотрите ещё в нем.
2. Если не помогут манипуляции с антивирусом и фаерволом, то попробуйте скачать струю версию. Например Skype 6.21 или с 7.10 по 7.14 и проверит работает ли там.